Eine Ergänzung für Quantum Algebra - Beispielanwendungen

Beispielanwendungen

Die Beispielanwendungen sind in Form von Notebooks gegeben. Vorläufig gibt es folgende:

• Ein Notebook zur Klein - Gordon - Gleichung
• Ein Notebook zur Dirac - Gleichung

Neben lokalen Regeln enthalten sie eine Reihe von Rechnungen, die z.B. Hamilton - Operator, 3er - Impuls und Ladung definieren und auswerten.

Klein - Gordon - Gleichung

In allen Fällen werden die freien Felder, die die Feldgleichungen lösen, vorgegeben.

1. Der Kommutator der Felder führt bei Anwendung der Kommutationsrelationen für die Koeffizienten der Felder auf die Kommutationsrelationen der Felder selbst.
   

   $\begin{array}{l}\text{(* Define the wave function solutions *)}\\ \mathrm{\Phi C}:={\int }_{\infty }\left(1/\mathrm{Sqrt}\left[2\left(2\mathrm{Pi}\right)^3k_0\right]{\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}\mathrm{Exp}\left[-i\exp \right]\right)d^{3}k+{\int }_{\infty }\left(1/\mathrm{Sqrt}\left[2\left(2\mathrm{Pi}\right)^3k_0\right]{\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\mathrm{Exp}\left[i\exp \right]\right)d^{3}k;\\ \mathrm{phi}=\mathrm{\Phi C}//\mathrm{QASimplify}\left[\right];\\ \mathrm{phicross}=\left({\mathrm{\Phi C}}^{†}//\mathrm{QASimplify}\left[\right]\right);\\ \text{(* Define the time derivative of wave function solution *)}\\ \mathrm{phicrossdot}=\left(\left({?}_{x_0}\mathrm{phicross}\right)/.\left\{k\to \mathrm{k1},x\to y\right\}\right)/.\left\{y_0\to x_0\right\};\\ \text{(* Evaluate the Commutator *)}\\ \mathrm{QAEvaluate1}[\mathrm{phi}\cdot \mathrm{phicrossdot}-\mathrm{phicrossdot}\cdot \mathrm{phi}]\\ i\mathrm{DiracDelta}\left[x_1-y_1,x_2-y_2,x_3-y_3\right]\hat{1}\\ \end{array}$

2. Der Hamiltonoperator als von den Feldern abhängender Ausdruck führt auf einen Ausdruck in den Koeffizienten der Felder (Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren).
   

   $$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }:=\sum _k(1/\mathrm{Sqrt}\left[2V{k}_0\right]{\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}\mathrm{Exp}[-i\exp ])+\sum _k(1/\mathrm{Sqrt}\left[2V{k}_0\right]{\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\mathrm{Exp}[i\exp ])\\ & {\mathfrak{H}}_1:=({\mathfrak{D}}_{x_0}(\mathrm{\Phi }//\text{Evaluate}))\cdot ({\mathfrak{D}}_{x_0}\left(({\mathrm{\Phi }}^{†}//\text{QASimplify}[])//\text{Evaluate}\right)/.\{k\to k1\})\\ & {\mathfrak{H}}_2:=\sum _{\mathrm{i}=1}^3(\left({\mathfrak{D}}_{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}({\mathrm{\Phi }}^{†}//\text{QASimplify}[]//\text{Evaluate})\right)\cdot ({\mathfrak{D}}_{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}(\mathrm{\Phi }//\text{Evaluate})/.\{\mathrm{k}\to \mathrm{k}1\}))\\ & {\mathfrak{H}}_3:=({\mu }^{\wedge }2({\mathrm{\Phi }}^{†}//\text{QASimplify}[])\cdot (\mathrm{\Phi }/.\{\mathrm{k}\to \mathrm{k}1\}))//\text{QASimplify}[]\\ & H_1:={\int }_V{\mathfrak{H}}_1{d}^3\mathrm{x}\\ & H_2:={\int }_V{\mathfrak{H}}_2{d}^3\mathrm{x}\\ & H_3:={\int }_V{\mathfrak{H}}_3{d}^{3}x\\ & \text{hamiltonian = QAEvaluate}2[{\mathrm{H}}_1+{\mathrm{H}}_2+{\mathrm{H}}_3]\\ & \hat{1}\sum _k{k}_0+\sum _k{\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\cdot {\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}{k}_0+\sum _k{\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\cdot {\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}{k}_0\\ & \end{array}$$

3. Gleiches gilt für den Ausdruck des 3er - Impulses.
   

   $$\begin{array}{rl}& {\mathfrak{P}}_{\mathrm{i\_}}:=({\mathfrak{D}}_{x_0}(\mathrm{\Phi }//\text{Evaluate}))\cdot ({\mathfrak{D}}_{x_i}\left(({\mathrm{\Phi }}^{†}//\text{QASimplify}[])//\text{Evaluate}\right)//.\{k\to k1\})+\\ & \left({\mathfrak{D}}_{x_0}\left(({\mathrm{\Phi }}^{†}//\text{QASimplify}[])//\text{Evaluate}\right)\right)\cdot ({\mathfrak{D}}_{x_i}(\mathrm{\Phi }//\text{Evaluate})//.\{k\to k1\})\\ & P_{\mathrm{i\_}}:={\int }_V{\mathfrak{P}}_i{d}^{3}x\\ & \text{Map}[\left(P_{\mathrm{\#1}}//\text{QAEvaluate2}\right)\mathrm{\&},\{1,2,3\}]\\ & \{-\sum _k{\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\cdot {\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}{k}_1-\sum _k{\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\cdot {\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}{k}_1\\ & -\sum _k{\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\cdot {\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}{k}_2-\sum _k{\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\cdot {\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}{k}_2,\\ & -\sum _k{\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\cdot {\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}{k}_3-\sum _k{\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\cdot {\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}{k}_3\}\end{array}$$

4. Gleiches gilt auch für den Ausdruck für die Ladung, der sich aus einer Kontinuitätsgleichung ergibt.
   

   $$\begin{array}{rl}& {\mathfrak{J}}_{\mathrm{i\_}}:=i(({\mathfrak{D}}_{x_i}(\mathrm{\Phi }//\text{Evaluate}))\cdot (({\mathrm{\Phi }}^{†}//\text{QASimplify}[])//.\{k\to k1\})-\\ & <malignmark></malignmark>({\mathfrak{D}}_{x_i}\left(({\mathrm{\Phi }}^{†}//\text{QASimplify}[])//\text{Evaluate}\right))\cdot (\mathrm{\Phi }//.\{k\to k1\}))\\ & J_{\mathrm{i\_}}:={\int }_V{\mathfrak{J}}_i{d}^{3}x\\ & \text{QAEvaluate2}\left[J_0\right]\\ & \sum _k{\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\cdot {\hat{a}}_{k_1,k_2,k_3}-\sum _k{\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}^{†}\cdot {\hat{b}}_{k_1,k_2,k_3}\\ & \end{array}$$